建模——古代玻璃制品的成分分析与鉴别

难得空出时间来回顾建模的日子。很痛苦，四天三晚吧，熬穿了多少个夜。最终收获不错，斩获国一。

现在已经是四年后了，AI已经全面爆发，或许有了AI的不需要熬那么多夜。

回顾一下这个命题：
这是2022年全国大学生数学建模竞赛的C题。要求回答下面的四个问题：

1. 对这些玻璃文物的表面风化与其玻璃类型、纹饰和颜色的关系进行分析；结合玻璃的类型，分析文物样品表面有无风化化学成分含量的统计规律，并根据风化点检测数据，预测其风化前的化学成分含量。

2. 依据附件数据分析高钾玻璃、铅钡玻璃的分类规律；对于每个类别选择合适的化学成分对其进行亚类划分，给出具体的划分方法及划分结果，并对分类结果的合理性和敏感性进行分析。

3. 对附件表单 3 中未知类别玻璃文物的化学成分进行分析，鉴别其所属类型，并对分类结果的敏感性进行分析。

4. 针对不同类别的玻璃文物样品，分析其化学成分之间的关联关系，并比较不同类别之间的化学成分关联关系的差异性。

数据处理

数据题目的经典操作了，预处理要做统计分析（纹饰分布，分化分布之类的），剔除异常值，填补缺失值。

我们还做了数据归一化，这是发现了不同文物化合物的含量不是100%，有一定的偏离，所以归一化便于统一度量进行后续的处理。

针对问题一

重点是建立数学模型去预测风化前的化学成分含量。

我当时的做法是通过定义风化损失，构建多元线性回归模型进行预测。

我看的话这个风化损失得衡量不同文物的风化程度，然后根据不同的风化程度才更好的反推回风化前的化学成分含量。怎么定义这个风化程度就需要一些门道了。

$$L = |y - x|$$

L是风化损失，y是风化前的数据，x是风化后的数据。其中y是位置的，这就无法建立多元线性回归了。

也是佩服我自己的脑洞，现在有正常数据，有风化数据，我想出的方法是利用正常分布的数据的分布来作为y。

具体是这样做的，对正常数据进行统计，利用四分位进行划分：

• 上界
• 上四分位$Q_1$
• 中位数$Q_2$
• 下四分位$Q_3$
• 下界

位于两个四分位之间的就没有损失。

这合理吗，从瓷器的角度来看，确实同类瓷器之间的化学元素应该不会相差太大，所以这样做也算合理，那我为啥不直接利用中位数呢，让所有偏离的数据往中位数靠近。用中位数应该还考虑未风化的样本，这类样本不该有损失，也可以让X拟合这类样本。但是对于风化样本，是不是就只会往两个四分位线拟合，造成两个中心的形态。

数据集确实不多，铅钡的损失是0.192，高钾的损失是0.676。感觉效果不错，主要脑洞大，强行用了多元线性回归去预测。

针对问题二

考点是亚类划分和敏感度分析。

有点太高了，数据太少严重过拟合了。这是对铅钡和高钾分类，那应该和容易分。

现学现卖的图，现在看起来也很不错，这是地理相关领域的一个图类型。可以很好的看到铅钡和高钾具有明显的分界。

这个分类现在看来是堆砌了过多的工作了，从普通决策树到梯度提升决策树，再到梯度优化后的决策树，集成学习。Over Qualified！！！

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(以上在 2026.08.17 撰写，花的时间太多，下次再写)